1. Indice

2. Transistore Bipolare - BJT

2.1. Modello GCCC

Il transistore bipolare (Bipolar Junction Transistor) BJT è un dispositivo attivo a due porte e tre terminali.

Idealmente è rappresentato da un generatore controllato di corrente GCCC.

Nel suo uso generico si accoppia con una rete esterna che comprende un generatore di segnale di bassa potenza e un carico.

Il guadagno di corrente $A_i$ è calcolabile come il rapporto tra le correnti: \(\begin{matrix} i_2 = A_ii_1 & \rArr & A_i = \frac{i_2}{i_1} \end{matrix}\)

L’accoppiamento con la rete esterna permette quindi di definire un guadagno di tensione: $$ \begin{CD} {v_2 = -R_Li_2 = -R_LA_ii_1 = -R_LA_i\frac{v_s}{R_S}}
@VVV
{ A_V = \frac{v_2}{v_S} = -A_i\frac{R_L}{R_S} } \end{CD}

$$

In generale, per un generico quadripolo: \(\begin{matrix} A_i := \frac{i_{out}}{i_{in}} & \text{Guadagno di corrente:} \begin{cases} A_i > 1 & \text{Amplificatore di corrente} \\ A_i < 1 & \text{Attenuazione di corrente} \end{cases} \\ A_V := \frac{v_{out}}{v_{in}} & \text{Guadagno di tensione:} \begin{cases} A_v > 1 & \text{Amplificatore di tensione} \\ A_v < 1 & \text{Attenuazione di tensione} \end{cases} \end{matrix}\)

Se definiamo quindi $P_L = -v_2i_2$ come la potenza erogata sul carico e come $P_S = v_si_1$ come la potenza erogata dalla sorgente otteniamo che: \(A_P := \frac{P_L}{P_S} = -\frac{v_2 i_2}{v_Si_1} = -A_iA_v = A_i^2 \frac{R_L}{R_S}\)

Quindi, anche avessimo un amplificazione di corrente, non è detto che avremo anche un’amplificazione di potenza. Tuttavia, i componenti attivi come BJT e MOSFET permettono $ A_P > 1$, raccogliendola da un’alimentazione a loro interna.

Modellare il BJT senza il GCCC equivale ad averne uno con $A_i = -1$: \(\begin{matrix} v_2 = \frac{R_L}{R_L + R_S}v_S & \rArr & A_V = \frac{R_L}{R_L + R_S} \\ i_2 = -i_1 & \rArr & A_i = -1 \end{matrix}\)

Di conseguenza: \(A_P = \frac{P_L}{P_S} = \frac{-v_2i_2}{v_Si_1} = \frac{R_L}{R_L + R_S} < 1\)

2.2. Funzionamento del dispositivo

Il transistore bipolare a giunzione consiste di due giunzioni $p-n$ poste una di seguito all’altra, e orientate in senso inverso.

La figura mostra anche il verso naturale in cui scorre la corrente durante il funzionamento da GCCC.

Chiamiamo:

Se vedessimo in sezione il dispositivo vedremmo questo:

Le considerazioni sono equivalenti per transistori pnp.

Notiamo che la base è estremamente sottile, così da permettere ai porttatori emessi di “scavalcarla”. Se questa fosse invece molto larga, acvremmo invece una configurazione di diodi back-to-back, che non permette l’effetto transistore.

Trattiamo quindi le due giunzioni di un transistore pnp separatamente.

La prima giunzione (BE) presa singolarmente equivale letteralmente ad un diodo.

Il contributo maggioritario della corrente, quando in polarizzazione diretta $V_{BE} > 0$, è quello delle lacune, che producono la corrente di diffusione.

Anche la seconda giunzione (CB) singolarmente equivale ad un diodo, direzionato inversamente rispetto a quello BE.

Avendo preso l’altro in polarizzazione diretta, questo sarà polarizzato in inversa $(V_{CB} < 0)$.

In questo caso quindi la corrente dei minoritari, ovvero le lacune, sarà limitata dal tasso di generazione termica, indipendente dall’intensità del campo elettrico $E$.

Se lo prendiamo invece nel suo complesso, vediamo che l’emettitore rifornisce di lacune la base, aumentando quindi in maniera significativa il numero di minoritari che verranno poi attratti nel collettore. Questo quindi genera un flusso di lacune che va dall’Emettitore al Collettore.

Diciamo quindi di essere in Zona Attiva Diretta ZAD quando:

Nel caso pnp abbiamo quindi $V_{EB} > 0$ e $V_{CB} < 0$.

Gli effetti che osserviamo sono:

Le lacune che “sopravvivono” al passaggio attraverso la base arrivano quindi alla zona di svuotamento BC, dove è presente un forte campo elettrico. Queste lacune riforniscono quindi la giunzione BC in inversa.

Oltre a questo flusso principale se ne hanno altri che sono trascurabili, dovuti a drogaggi assimmetrici e/o generazione termica di minoritari.

2.2.1. Effetto Transistore

Chiamiamo effetto transitore:

L’effetto per cui una piccola corrente di base permette di controllare un elevata corrente emettitore-collettore.
In particolare quest’ultima sarà una versione amplificata della corrente di base.

È importante sottolineare che la corrente di base è piccola ma non nulla. $I_B$ infatti si occupa di rifornire i portatori maggioritari necessari per mantenere la neutralità di carica nella zona neutra. Se questo non accadesse, ovvero $I_B = 0$, i portatori si accumulerebbero in base, generando quindi un potenziale che ostacolerebbe l’ulteriore iniezione di portatori, portando ad avere una corrente di uscita $I_E = 0$. La zona neutra della base quindi sparirebbe.

La corrente $I_B$ deve quindi essere sottoposta ad un meccanismo di controllo per matenere la zona neutra della base. Il numero di portatori maggioritari che raggiungono il collettore deve essere proporzionale al numero di portatori che si ricombinano in base. La percentuale di ricombinazione in base è dettata dalle dimensioni geometriche e dai drogaggi.

2.2.2. Differenze tra Collettore e Emettitore

Il BJT non è un dispositivo simmetrico.

L’emettitore è infatti molto più drogato rispetto al collettore. Proprio questa differenza permette di trascurare la corrente di elettroni iniettati dalla base.

Se cambio il ruolo di $E$ con $C$ invertendo le polarizzazioni e agendo nella Zona Attiva Inversa ZAI, nella quale $V_{EB} < 0$ e $V_{CB} > 0$, continueremmo ad osservare l’effetto transistore, ma stavolta la corrente di base $I_B$ sarebbe più consistente a parità di flusso di portatori, poiché rimane più coerente

Questo influisce notevolmente nella capacità di controllare una corrente grande con una corrente piccola.

2.3. Modello di Ebers-Moll

Abbiamo quindi descritto il meccanismo fisico per cui una corrente di base piccola controlla la grande corrente di attraversamento.

Per dimostrare che il dispositivo si comporta effettivamente come un GCCC abbiamo bisogno di un modello, così da dimostrare che il dispositivo permette il guadagno di potenza, recuperandola da una fonte di alimentazione, o supply.

In particolare discuteremo del Modello di Ebers-Moll, che descrive il comportamento di BJT per grandi segnali.

Definiamo:

Esiste quindi una condizione di reciprocità tra i due generatori ausiliari e le correnti inverse di saturazione dei due diodi: \(\alpha_F I_{E_S} = \alpha_R I_{C_S}\)

Analizziamo cosa succede nei pnp, tenendo a mente che le analisi saranno valide anche nei npn con opportune considerazioni sui minoritari/maggioritari.

Le equazioni di Shockley per i diodi, trascurando i fattori di non idealità $\eta$, sono quindi: \(\begin{cases} I_{ED} = I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} - 1) \\ I_{CD} = I_{CS}(e^{V_{CB}/U_T} - 1) \end{cases}\)

Dalle equazioni ai nodi otteniamo quindi: \(\begin{align*} I_E &= I_{ED} - \alpha_R I_{CD} \\ I_C &= I_{CD} - \alpha_F I_{ED} \\ I_B &= -I_E - I_C \end{align*}\)

Sostituendo nelle equazioni ai nodi le equazioni di Shockely otteniamo: \(\begin{cases} \begin{align*} I_E &= I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} - 1) - \alpha_R I_{CS}(e^{V_{CB}/U_T} - 1) \\[0.5em] I_C &= I_{CS}(e^{V_{CB}/U_T} - 1) - \alpha_F I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} - 1) \end{align*} \end{cases}\)

Nel modello npn è quindi facile ricavare che: \(\begin{cases} \begin{align*} I_E &= - I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} - 1) + \alpha_R I_{CS}(e^{V_{CB}/U_T} - 1) \\[0.5em] I_C &= - I_{CS}(e^{V_{CB}/U_T} - 1) + \alpha_F I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} - 1) \end{align*} \end{cases}\)

Quando operiamo nella Zona Attiva Diretta, ovvero con $V_{EB} \gg U_T$ e $V_{CB} \ll 0$, possiamo semplificare le nostre equazioni: \(\begin{CD} \begin{matrix} \begin{align*} I_E &= I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} \cancel{- 1}) - \alpha_R I_{CS}(\cancel{e^{V_{CB}/U_T}} - 1) \\ I_E &= I_{ES}\cdot e^{V_{EB}/U_T} \cancel{+ \alpha_R I_{CS}} \\ I_E &= I_{ES}\cdot e^{V_{EB}/U_T} \end{align*} & & \begin{align*} I_C &= I_{CS}(\cancel{e^{V_{CB}/U_T}} - 1) - \alpha_F I_{ES}(e^{V_{EB}/U_T} \cancel{- 1}) \\ I_C &= \cancel{-I_{CS}} -\alpha_F I_{ES}\cdot e^{V_{EB}/U_T} \\ I_C &= -\alpha_F I_{ES}\cdot e^{V_{EB}/U_T} \end{align*} \end{matrix} \\ @VVV \\ \boxed{ \begin{align*} I_E &= I_{ES}e^{V_{EB}/U_T}\\[1em] I_C &= -\alpha_F I_E \\[1em] I_B &= -(I_E + I_C) = (\alpha_F - 1)I_E \end{align*} } \end{CD}\)

Se provassimo a mettere in relazione corrente in entrata e corrente di base otterremmo il rapporto $\beta_F$, indicato dai costruttori anche come $h_{FE}$: \(\beta_F := \frac{I_{in}}{I_B} \rArr \frac{I_C}{I_B} =\frac{\alpha_F}{1 - \alpha_F}\)

Che, considerando $0.98 \le \alpha_F \le 0.998$, otteniamo che $50 \lesssim \beta_F \lesssim 500$.

Abbiamo quindi dimostrato che in ZAD il transistore BJT si comporta da GCCC: \(I_C = \beta_F I_B\)

Quello che accade nelle varie zone:

Zona di Funzionamento Polarizzazione Giunzioni $\beta$ Impiego BJT
Attiva Diretta ZAD $V_{BE} > 0 \quad V_{BC} < 0$ $49 < \beta_F< 499$ Amplificatore
Attiva Inversa ZAI $V_{BE} < 0 \quad V_{BC} > 0$ $\frac{2}{3} < \beta_R < 4$ Amplificatore inefficiente
Interdizione OFF $V_{BE} < 0 \quad V_{BC} < 0$ Non definito Interruttore aperto
Saturazione ON $V_{BE} > 0 \quad V_{BC} > 0$ $\beta_{sat} < \beta _F$ Interruttore chiuso

Se operiamo in commutazione, ovvero in digitale, il BJT effettua dei salti tra interdizione e Saturazione.

Per quanto riguarda invece l’amplificazione analogica, restiamo sempre in attiva diretta.

2.4. Caratteristiche a Emittore Comune

Per il Principio di Accoppiamento, nel quale in un dispositivo a tre terminali (o un quadripolo) lo stato elettrico di una porta è intrinsecamente dipendente da una variabile della porta opposta, così da definire l’effetto di controllo/amplificazione, scegliamo il legame tra grandezze:

Analizziamo innanzitutto le caratteristiche di ingresso.

Dalla soluzione del modello di Ebers-Moll avevamo visto che: \(I_B \approx (1 - \alpha_F)|I_E| \approx (1 - \alpha_F)|I_{ES}|\cdot e^{V_{BE}/U_T}\)

Notiamo che questa caratteristica è analoga a quella del diodo. Per semplicità consideriamo la ZAD per $V_{BE} > V_\gamma$.

In questa zona, notiamo che in realtà $I_B = f(V_{BE})$, ovvero che non abbiamo dipendenza da $V_{CE}$.

Noteremo più avanti che in realtà questa assenza è dovuta a una semplificazione, ma non considerarla non provoca errori così rilevanti.

Per quanto riguarda le caratteristiche di ingresso, dalla soluzione del modello di Ebers-Moll avevamo ottenuto che: \(\begin{matrix} I_C = \beta_F I_B & V_{CE} > V_{CE,sat} \end{matrix}\)

In ZAD quindi la dipendenza da $V_{CE}$ scompare, anche qui per una semplificazione poco rilevante.

Al di sotto di $V_{CE, sat}$ entriamo nella zona di saturazione, nella quale $I_D$ crolla a zero.

Questo accade perché in ZAD la giunzione BC è in inversa $(V_{CB} > 0)$, ovvero il collettore agisce da “raccoglitore” dei portatori che arrivano dalla base.

Riducendo la $V_{CE}$: \(\begin{matrix} V_{CE} = V_C - V_E = V_C - V_B + V_B - V_E = -V_{BC} + \underbrace{V_{BE}}_{V_\gamma} & \rArr & V_{BC} = -V_{CE} + V_\gamma \end{matrix}\)

Se $V_{CE}$ scende sotto $\approx 0.7$ $V$ la giunzione BC non è più in inversa, ma inizia a diventare diretta.

La $V_{CE,sat}$ non è a $0.7$ $V$ come ci si aspetta, ma è un valore leggermente inferiore: \(0.1\;V \le V_{CE, sat} \le 0.3\;V\)

2.5. Effetto Early

L’effetto Early non è evidente dal modello di Ebers-Moll, ma si nota quando prolunghiamo le caratteristiche per tensioni negative.

Notiamo infatti che queste convergono su un punto sull’asse delle $V_{CE}$ che chiamiamo Tensione di Early $V_A$.

Più $|V_{A}|$ è grande, meno notiamo lo “sparpagliamento” delle caratteristiche al variare della corrente di base.

Questo effetto si manifesta (in ZAD):

Abbiamo già detto che in ZAD la giunzione tra collettore e base è in inversa, ovvero: \(V_{BC} = V_{EC} - V_{EB} \approx - V_{CE} + V_\gamma\)

La zona di svuotamento di una giunzione BC in polarizzazione inversa aumenta all’aumentare della polarizzazione inversa: \(W_{BC} = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{q}\Biggl(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\Biggr) (V_0 - V_{BC})}\)

L’aumento di $W_{BC}$ però comporta quindi un’assottigliamento della larghezza della base $L_B$.

Questo comporta la diminuzione della probabilità di ricombinazione nella base, comportando l’aumento di $I_C$ e la diminuzione di $I_B$.

Vediamo quindi l’effetto nei due transistori a parità di $V_{BE}$:

npn

pnp

2.6. Polarizzazione

Analizziamo adesso come risolvere un circuito nel quale si trova un transistore BJT.

Quando abbiamo un transistore inserito in una rete che lo polarizza il primo passo per la risoluzione del circuito è trovare il punto di riposo   $(V_{BE_Q}, I_{B_Q}, V_{CE_Q}, I_{C_Q})$

Possiamo scrivere le equazioni alle maglie: \(\begin{cases} V_{BB} = R_BI_B + V_{BE} \\ V_{CC} = R_CI_C + V_{CE} \end{cases}\)

Queste due equazioni, a quattro incognite, sono affiancate alle equazioni che descrivono le caratteristiche del BJT: \(\begin{cases} I_B = f(V_{BE}, V_{CE}) \\ I_C = g(B_{CE}, I_B) \end{cases}\)

Se abbiamo a disposizione le caratteristiche di ingresso e di uscita del nostro transistore in forma grafica, possiamo effettuare un analisi grafica:

L’effetto early è trascurabile sulla caratteristica di ingresso: $f(\cdot) \to f^\ast(\cdot)$.

L’intersezione con la retta di carico ci permette di trovare $V_{BE_Q}$ e $I_{B_Q}$

Avendo già a disposizione $I_{B_Q}$, scegliamo il ramo corretto e determiniamo l’intersezione con la retta di carico per trovare $V_{CE_Q}$ e $I_{C_Q}$

Se invece volessimo fare un analisi analitica delle stime, possiamo utilizzare l’equazione che descrive la corrente $I_B$ secondo il modello Ebers-Moll in ZAD: \(I_{B_Q} = (1 - \alpha_F)I_{ES}e^{V_{BE_Q} \over U_T}\)

A questo punto possiamo sostituire questo valore nell’equazione della retta di carico: \(V_{BB} = R_B\cdot (1 - \alpha_F)I_{ES}e^{V_{BE_Q} \over U_T} + V_{BE_Q} \\\)

Questa equazione è un equazione trascendente in incognita $V_{BE_Q}$, non risolvibile se non con metodi di calcolo numerico.

Possiamo però utilizzare un metodo analitico semplificato, sfruttando il modello a caduta costante della giunzione $BE$ in ZAD: \(V_{BE_Q}^\ast = V_\gamma = 0.7\;V\)

Possiamo sostituire questo valore nella retta di carico per trovare immediatamente $I_{B_Q}$: \(I_{B_Q}^\ast = \frac{V_{BB} - V_\gamma}{R_B}\)

Questa stima permette una risoluzione “carta e penna” semplice, e mantiene un errore piccolo poiché nel transistore BJT abbiamo un coefficiente di non idealità unitario $(\eta = 1)$, quindi il valore $V_\gamma$ a temperature non estreme è sufficientemente vicino al valore reale.

Nel metodo analitico semplificato trascuriamo l’effetto Early anche sulla caratteristica di uscita, utilizzando la relazione: \(I_{C_Q}^\ast = \beta_F I_{B_Q}^\ast\)

Trovato quindi $V_{CE_Q}^\ast = V_{CC} - R_C\beta_F I_{B_Q}^\ast$.

Poiché la nostra ipotesi è di essere in ZAD, dobbiamo semplicemente verificare che: \(V_{CE_Q}^\ast > V_{CE, sat} \approx 0.2\;V\)

Fatto ciò abbiamo trovato il punto di riposo approssimato   $(V_{BE_Q}^\ast, I_{B_Q}^\ast, V_{CE_Q}^\ast, I_{C_Q}^\ast)$.

Possiamo quindi riassumere la polarizzazione del transistore BJT nel seguente modo:

2.7. Inverter

La caratteristica statica di trasferimento in tensione, o VCT è che il voltaggio di uscita dipende da quello in entrata   $V_{out(V_{in})}$

In particolare sappiamo che la tensione di ingresso $V_{in}$ varia a passi discreti da $0$ fino al valore $V_{CC}$, tipicamente $5$ $V$.

Il valore della tensione di uscita viene registrata solo una volta esauriti i transitori, dopo che il BJT abbia attraversato le varie zone di funzionamento.

La prima zona che vediamo è la regione: \(0 \le V_{in} \le V_\gamma\)

In questa zona la nostra ipotesi è che il BJT sia interdetto: \(\begin{align*} I_B &= I_C = 0 \\ V_{out} &= V_{CC} \end{align*}\)

La verifica è immediata: \(\begin{align*} V_{BE} &= V_{in} < V_\gamma & \text{Verificata da ipotesi} \\[1em] V_{BC} &= V_{BE} - V_{CE} = V_{in} - V_{CC} \\ &< V_\gamma - V_{CC} & \text{Verificata da ipotesi} \\ &< V_\gamma - V_{CE,sat} \end{align*}\)

In questa fase abbiamo quindi un entrata $V_{in}$ identificabile con uno 0 logico, e un uscira $V_{CC}$ equiparabile a un 1 logico.

La seconda zona che analizziamo è la regione: \(V_\gamma \le V_{in} < V_{in,sat}\)

In questa zona ipotizziamo BJT in ZAD: \(\begin{CD} \begin{matrix} I_B = \frac{V_{in}-V_\gamma}{R_B} & & I_C = \beta_F I_B \end{matrix} \\ @VVV \\ { V_{out} = V_{CC} - R_CI_C = V_{CC} - R_C\beta_F \frac{V_{in}-V_\gamma}{R_B} } \end{CD}\)

Verifichiamo l’ipotesi: \(\begin{align*} I_B &> 0 & \text{Verificata da ipotesi} \\ V_{CE} &= V_{out} > V_{CE,sat} \end{align*}\)

L’ultima condizione è sicuramente soddisfatta per $V_{in,min} = V_\gamma$, che comporta che $V_{out} = V_{CC} > V_{CE,sat}$, dobbiamo però calcolare $V_{in,max} = V_{in,sat}$ affinché questa relazione sia rispettata sempre. Calcoliamo quindi il limite superiore: \(\begin{CD} {V_{CE,sat} = V_{CC} - \frac{R_V\beta_F}{R_B}(V_{in,sat} - V_\gamma)} \\ @V{\text{Isolo } V_{in,sat}}VV \\ { V_{in,sat} = V_\gamma + \frac{R_B}{R_C\beta_F}(V_{CC} - V_{CE,sat}) } \end{CD}\)

Assumendo quindi questo come valore $V_{in,sat}$ possiamo garantire che le nostre ipotesi siano verificate.

L’ultima regione è quindi: \(V_{in} \ge V_{in,sat}\)

Che equivale a quando il BJT è saturo: \(\begin{CD} \begin{matrix} I_B = \frac{V_{in}-V_\gamma}{R_B} & & I_C = \frac{V_{CC} - V_{CE,sat}}{R_C} \end{matrix} \\ @VVV \\ { V_{out} = V_{CE,sat} } \end{CD}\)

Verifichiamo l’ipotesi di saturazione: \(\begin{align*} I_B &> 0 & \text{Verificata dalle ipotesi} \\ I_C &\le \beta_FI_B \end{align*}\)

Per dimostrare l’ultima ipotesi, scriviamo la tensione di ingresso come l’aumento rispetto alla tensione di saturazione: \(\begin{matrix} V_{in} = \Delta V_{in} + V_{in,sat} & \Delta V_{in} > 0 \end{matrix}\) A questo punto possiamo riscrivere la corrente di base: \(\begin{align*} I_B &= \frac{\Delta V_{in}}{R_B} + \frac{V_{in,sat} - V_\gamma}{R_B} & \text{Dallo studio nella regione precedente: } V_{in,sat} = V_\gamma + \frac{R_B}{R_C\beta_F}(V_{CC} - V_{CE,sat}) \\ I_B &= \frac{\Delta V_{in}}{R_B} + \frac{V_{CC} - V_{CE,sat}}{\beta_F R_C} \\ \beta_F I_B &= \frac{\beta_F \Delta V_{in}}{R_B} + I_C \end{align*}\)

Poiché sappiamo che $\Delta V_{in} > 0$, allora la nostra condizione è sicuramente rispettata.

In questa fase abbiamo un ingresso rappresentabile con un 1 logico, mentre l’uscita sarà uno 0 logico.

Riassumento abbiamo ottenuto che: \(\begin{matrix} 0 \le V_{in} < V_\gamma & V_{out} = V_{CC} \\ V_\gamma \le V_{in} < V_{in,sat} & V_{out} = V_{CC} - R_C \beta_F \frac{V_{in} - V_\gamma}{R_B} \\ V_{in} \ge V_{in,sat} & V_{out} = V_{CE,sat} \end{matrix}\)

Quello che abbiamo ottenuto dai calcoli

La simulazione di ciò che accade nella realtà. Vedremo più avanti cosa significa “punto di inversione”

Nella realtà tendiamo a non utilizzare inverter costruiti così poiché sono soggetti ad un consumo statico di energia, che aumenta all’aumentare della tensione.

2.7.1. Inverter come amplificatore

Immaginiamo di avere tensioni di ingresso sinusoidali, di ampiezza $2V_M$.

Se l’inverter lavora in ZAD, quello che otteniamo è un ampiezza di uscita di ben $2 \frac{R_C}{R_B}\beta_F V_M$.

Otteniamo quindi un fattore di amplificazione: \(A = - \frac{A_{out}}{A_{in}} = - \frac{\beta_F R_C}{R_B}\)

L’amplificazione è quindi linearmente dipendente da $\beta_F$, e quindi può variare fortemente con i parametri del transistore e la temperatura.

2.8. Polarizzazione BJT - Rete a 4 resistori

Per ottenere una polarizzazione indipendente dalla temperatura è necessario fissare una corrente continua costante di collettore o di emettitore che sia anch’essa poco sensibile alle variazioni della temperatira.

In particolare utilizziamo un circuito a 4 resistori. Questo circuito, come si può vedere sotto, può essere sostituito effettuando l’equivalente Thévenin per ottenere una struttura più simile a quella già vista:

Nel modello semplificato, in ipotesi ZAD, questo circuito diventa così:

Su questo circuito otteniamo: \(\begin{cases} V_{BB} = R_BI_B + V_\gamma + R_EI_E \\ V_{CC} = R_CI_C + V_{CE} + R_EI_E \\ I_C = \beta_F I_B \\ I_E = I_C + I_B \end{cases}\)

Dove $I_B$, $I_C$, $I_E$ e $V_{CE}$ sono le nostre incognite.

Risolvendo questo sistema di quattro equazioni otteniamo: \(\begin{cases} I_B = \frac{V_{BB} - V_\gamma}{R_B + R_E(\beta_F + 1)} \\[0.75em] I_C = \beta_F I_B = \beta_F \cdot \frac{V_{BB} - V_\gamma}{R_B + R_E(\beta_F + 1)}\\[0.75em] I_E = (\beta_F + 1)I_B = \frac{V_{BB} - V_\gamma}{\frac{R_B}{\beta_F + 1} + R_E} \\[0.75em] V_{CE} = V_{CC} - (R_C\beta_F + R_E(\beta_F + 1))I_B \end{cases}\)

Se verifichiamo quindi la stabilità del punto di riposo: \(\begin{CD} \begin{cases} V_{BB} \gg V_\gamma \\ R_E \gg \frac{R_B}{\beta_F + 1} \end{cases} @>>> {I_E \approx \frac{V_{BB}}{R_E} \approx I_C} \end{CD}\)

Abbiamo quindi che la corrente di emettitore, e di conseguenza anche quella di collettore, è determinata dai componenti esterni collegati al transistore, e non dal transistore stesso.

2.9. Modello Linearizzato per Piccoli Segnali

Abbiamo già visto come trovare il punto di riposo risolvendo il circuito con il modello per grande segnale.

Ci occupiamo adesso di determinare gli effetti dovuti al piccolo segnale di stimolo $v_{in}(t): \Set{i_b(t), v_{be}(t), i_c(t), v_{ce}(t), v_{out}(t)}$.

Analogamente a quanto avevamo visto con il diodo operiamo una linearizzazioen attorno al punto di riposo: \(\begin{CD} \begin{cases} v_{BE} = f(i_B, v_{CE}) \\ i_C = g(i_B, v_{CE}) \\ i_B(t) = I_{B_Q} + i_b(t) \\ v_{CE}(t) = V_{CE_Q} + v_{ce}(t) \end{cases} \\ @VVV \\ \begin{cases} v_{BE} = f(I_{B_Q} + i_b(t), V_{CE_Q} + v_{ce}(t)) \\ i_C = g(I_{B_Q} + i_b(t), V_{CE_Q} + v_{ce}(t)) \end{cases} \\ @V\text{Linearizziamo attorno al punto di riposo}VV \\ \begin{cases} v_{BE} \approx f(I_{B_Q}) + \frac{\partial f(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial i_B} \cdot i_b(T) + \frac{\partial f(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial v_{CE}} \cdot v_{ce}(t) \\ i_{C} \approx g(I_{B_Q}) + \frac{\partial g(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial i_B} \cdot i_b(T) + \frac{\partial g(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial v_{CE}} \cdot v_{ce}(t) \end{cases} \\ @VVV \\ \begin{cases} V_{BE}(t) = V_{BE_Q} + v_{be}(t) \\ i_C(t) = I_{C_Q} + i_c(t) \end{cases} \end{CD}\)

Otteniamo quindi le seguenti linearizzazioni per i piccoli segnali attorno al punto di riposo $Q$: \(\begin{cases} v_{be}(t) \approx \frac{\partial f(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial i_B} \cdot i_b(T) + \frac{\partial f(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial v_{CE}} \cdot v_{ce}(t) \\ i_c(t) \approx \frac{\partial g(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial i_B} \cdot i_b(T) + \frac{\partial g(I_{B_Q}, V_{CE_Q})}{\partial v_{CE}} \cdot v_{ce}(t) \end{cases}\)

Definiamo quindi parametri ibridi o hybrid: \(\begin{align*} h_{ie} &:= \frac{\partial f(Q)}{\partial i_B} = \frac{\partial v_{BE}(Q)}{\partial i_B} \\ h_{re} &:= \frac{\partial f(Q)}{\partial v_{CE}} = \frac{\partial v_{BE}(Q)}{\partial v_{CE}} \\ h_{fe} &:= \frac{\partial g(Q)}{\partial i_B} = \frac{\partial i_C(Q)}{\partial i_B} \\ h_{oe} &:= \frac{\partial g(Q)}{\partial v_{CE}} = \frac{\partial i_C(Q)}{\partial v_{CE}} \\ \end{align*}\)

I pedici stanno per:

Questo circuito è un quadripolo lineare modellato con parametri $h$: \(\begin{cases} h_{11} = \frac{v_1}{i_1} = h_{ie} & v_2 = 0 & \text{Impedenza di ingresso} \\[0.5em] h_{12} = \frac{v_1}{v_2} = h_{re} & i_1 = 0 & \text{Guadagno di tensione inverso} \\[0.5em] h_{21} = \frac{i_2}{i_1} = h_{fe} & v_2 = 0 & \text{Guadagno di corrente diretto} \\[0.5em] h_{22} = \frac{i_2}{v_2} = h_{oe} & i_1 = 0 & \text{Ammettenza di uscita} \\ \end{cases}\)

2.9.1. Ruolo dei parametri

Il parametro $h_{ie}$ ci fornisce informazioni sulla pendenza della retta tangente che linearizza la nostra funzione nel punto di riposo.

È analogo alla ressitenza differenziale del diodo

Il parametro $h_{re}$ ci fornisce informazioni riguardo a come varia la corrente di base $I_{B_Q}$ all’oscillamento della tensione $V_{BE}$ .

Se effettuiamo il limite con le oscillazioni nulle otterremo la corrente $I_{B}$ con tensione $V_{CE_Q}$.

Se $h_{re} \approx 0$ non avremo l’effetto Early sulla porta di ingresso

Il parametro $h_{fe}$ ci fornisce informazooni relative alla variazione della corrente di uscita $I_C$ al variare della corrente di base $I_B$.

Come detto in precedenza assumiamo $\beta_F = h_{fe}$, anche se $h_{fe}$ è leggermente superiore.

Il parametro $h_{oe}$ ci fornisce informazioni relative all’effetto Early sulla porta di uscita. In particolare è possibile dimostrare che, chiamata $-V_A$ la tensione di Early: \(h_{oe} = \frac{I_{C_Q}}{V_A + V_{CE_Q}}\)

Per quanto riguarda il parametro di uscita $h_{oe}$ spesso faremo la seguente semplificazione:

Per valori/ordini di grandezza tipici degli esercizi, ovvero:

Consideremo: \(\frac{1}{h_{oe}} \approx \frac{V_A}{I_{C_Q}} = 100\;k\Omega\)

Se invece i resistori della rete esterna sono di pochi $k\Omega$ possiamo considerare: \(\frac{1}{h_{oe}} \to \infty\)

Abbiamo quindi le seguenti linearizzazioni:

2.10. Accoppiamento AC con sorgente e carico

Vediamo cosa succede quando accoppiamo un transistore BJT con un generatore alternato $v_S$ e un carico in connessione diretta:

Esempio di accoppiamento diretto. Il generatore $V_S$ è da considerarsi un generatore dincontinua per i nostri scopi.

Equivalente Thévenin

In questa configurazione se il carico fosse molto minore della resistenza del connettore $R_L \ll R_C$ otteniamo che l’alimentazione tenderà a zero, quindi anche la $V_{CE_Q}$ tenderà a zero, saturando il BJT.

In modo analogo, se $R_S \ll R_1,R_2$ abbiamo che la tensione di base tenderà a zero, andando a spegnere $V_S$ per sovrapposizione degli effetti. In questo caso la corrente di base tende a zero, spegnendo il BJT se $V_{BE} < V_\gamma$

L’accoppiamento diretto DC interferisce con la polarizzazione del carico del transistore BJT.

Vediamo quindi un altro tipo di connessione, attraverso dei condensatori:

Sia il generatore di sorgente che il carico vengono connessi tramite condensatori di disaccoppiamento $C_S, C_L$

I condensatori non sono scelti casualmente ma devono essere dei perfetti corto circuiti alla frequenza dei segnali, così da non introdurre delle attenuazioni né nelle distorsioni nei segnali che transitano.

Quando agiamo in continua, i condensatori offrono una impedenza infinita $({1 \over j\omega C})$, aprendo le maglie relative alla sorgente e al carico. In questo modo il punto carico $Q$ del BJT dipende unicamente dallo schema di polarizzazione.

In corrente alternata sopra una certa frequenza $(50Hz)$ invece i condensatori si considerano corto-circuiti, permettendo al segnale di attraversare lo stadio amplificatore e raggiungere il carico. Queste frequenze dipendono dalla resistenza vista da ciascuno di essi $(\omega_{z,X} = \frac{1}{R_XC_X})$. È quindi possibile calcolare $R_X$ dal circuito e decidere $\omega_{z,X}$ dimensionando opportunamente $C_X$.

2.10.1. Analisi di Circuiti con Componenti non lineari

  1. Analisi DC o Analisi del Punto di Riposo: Determino $Q$ e calcolo i parametri differenziali
    • Disattivare i generatori di segnale $v(t) \to c.c$   $i(t) \to c.a.$
    • Sostituire i condensatori con un c.a.
    • Sostituire le induttanze con un c.c.
    • Sostituire i componenti non lineari con il modello per grandi segnali
  2. Analisi AC O Analisi in Media Frequenza: Determino guadagno a centro banda, impedenze viste, …
    • Disattivare i generatori di valore costante $V_{CC} \to 0$   $I_P \to c.a.$
    • Sostituire i condensatori con un c.c.
    • Sostituire le induttanze con un c.a.
    • Sostituire i componenti non lineari con il modello per piccoli segnali
    • I condensatori intrinsechi ai componenti non lineari vengono considerati c.a.