1. Indice

• 1. Indice
• 2. Giunzioni P/N
  • 2.1. Collegamento alla corrente
• 3. Diodo
  • 3.1. Effetto Breakdown
    • 3.1.1. Diodo Zener
    • 3.1.2. Relazione Temperatura-Breakdown
• 4. Diodo nei Circuiti
  • 4.1. Modelli del Diodo per Grandi Segnali
    • 4.1.1. Modello a Caduta Costante
    • 4.1.2. Modello a Diodo Ideale
    • 4.1.3. Modello lineare a Tratti
    • 4.1.4. Soluzione circuito
  • 4.2. Metodi di Analisi dei Circuiti
  • 4.3. Modelli del Diodo per Piccoli Segnali
    • 4.3.1. Esempio Applicativo

2. Giunzioni P/N

Finché il Silicio non è chiuso in nessuna maglia, abbiamo che: \(\begin{CD} {\vec{I}_{TOT} = 0} @>>> {\vec{J}_{TOT} = 0} \end{CD}\)

Tuttavia, quando colleghiamo i due pezzi di Silicio abbiamo un notevole gradiente di densità delle lacune, cio comporta che avremo una densità di carica di diffusione: \(\vec{J}_{p,DIFF} = -q\cdot D_p \cdot \frac{\partial p}{\partial x}\;\hat{x}\)

Nel nostro caso, $\vec{J}_{p,DIFF}$ è da destra verso sinistra.

Analogamente, abbiamo anche un gradiente di densità degli elettroni, che genera anch’esso una densità di carica di diffusione: \(\vec{J}_{n,DIFF} = +q \cdot D_n \cdot \frac{\partial p}{\partial x}\;\hat{x}\)

Anche in questo caso, avremo che $\vec{J}_{n,DIFF}$ è diretta da sinistra verso destra.

Questo sembra andare in contraddizione con quanto affermato prima, in quanto: \(\vec{J}_{TOT} = \vec{J}_{p,DIFF} + \vec{J}_{n,DIFF} \neq 0\)

Dobbiamo però notare che stiamo ignorando la corrente di drift, che è presente solo in presenza di un campo elettrico. Seppur non sembra il nostro caso, in realtà all’interno del Silicio nel momento in cui abbiamo messo a contatto le due parti drogate si è autogenerato un campo elettrico interno.

Effettuiamo quindi uno zoom di quello che accade nella zona di confine:

La regione $W$ viene chiamata Zona di Svuotamento, e agisce analogamente ad un condensatore, generando internamente un campo Elettrico $E$, diretto da $N$ verso $P$. È quindi banale notare che il campo elettrico, per via del suo verso, va a opporsi sia al movimento delle lacune che a quello degli elettroni.

Ricordando che dobbiamo dimostrare che: $$ \begin{CD} {\vec{J}{TOT} = \vec{J}{n} + \vec{J}{p} = 0 } @>\text{Equilibrio Termodinamico}» \vec{J}{n} = - \vec{J}_{p}

\end{CD} $$

Dall’analisi qualitativa abbiamo però dedotto che entrambe le cariche hanno lo stesso verso, quindi dovranno avere lo stesso segno. Perciò ne deduciamo che: \(\begin{matrix} \vec{J}_{n} = 0 & \vec{J}_{p} = 0 \end{matrix}\)

Ovvero: \(\begin{cases} \vec{J}_{n} = qD_n \frac{\partial n}{\partial x} \hat{x} + n q \mu_n \vec{E} = 0 \\[0.75em] \vec{J}_{p} = -qD_p \frac{\partial p}{\partial x} \hat{x} + p q \mu_p \vec{E} = 0 \end{cases}\)

Se noi provassimo a collegare un tensiometro però non vedremmo alcun potenziale. Questo accade perché, nel momento in cui colleghiamo gli elettrodi con le zone drogate, si genereranno altri potenziali di contatto. Il potenziale che andremo quindi a misurare sarà:   $V_2 + V_1 + V_0 = 0$

2.1. Collegamento alla corrente

Analizziamo quindi adesso cosa accade quando applichiamo un potenziale $V$ agli estremi del Silicio.

Abbassando la barriera di diffusione, quello che osserviamo è che la componente di diffusione, sia degli elettroni $J_{n,DIFF}$ che delle lacune $J_{p,DIFF}$, aumenta in modo esponenziale, poiché il campo elettrico repulsivo interno è adesso attenuato dal potenziale esterno.

Quello che invece accade alla corrente di drift è particolare, in quanto è proporzionale al campo elettrico quando $n$ e $p$ sono sufficientemente grandi. Nel nostro caso invece, poiché $n$ e $p$ sono rispettivamente cariche minoritarie, diminuiscono per un massimo fattore per noi trascurabile (dopo un po’ le cariche che possono spostarsi si sono spostate tutte), al punto che è possibile considerare $J_{n, DRIFT}$ e $J_{p, DRIFT}$ come piccole e costanti.

L’effetto complessivo è quindi che: \(\boxed{\vec{J}_{TOT} \neq 0}\)

In particolare avremo una densità di corrente diretta dall’Anodo verso il Catodo.

Se invece invertiamo la polarità della tensione, applicando una tensione $V_1 = -V$, avremo degli effetti opposti a quelli precedenti.

Gli effetti di $V_1$ sul potenziale di barriera non è diminuirlo ma bensì aumentarlo $V_0 +

V_1

$.

Alzando la barriera di diffusione, osserviamo che le componenti di diffusione $J_{n,DIFF}$ e $J_{p,DIFF}$ diminuiscono, diventando molto piccole. Le componenti di drift $J_{n, DRIFT}$ e $J_{p, DRIFT}$ rimangono invece piccole e costanti.

L’effetto complessivo continua ad essere che $\vec{J}_{TOT} \neq 0$, ma a differenza di prima questa densità di corrente sarà piccola, poiché dovuta principalmente alla componente di drift, e avrà direzione dal Catodo verso l’Anodo.

3. Diodo

Abbiamo quindi detto che la barriera di potenziale è: \(V_0 = \frac{K_BT}{q}\ln{\Biggl(\frac{N_AN_D}{n_i^2}\Biggr)}\)

La dimensione della zona di svuotameto è data dalla seguente relazione (non è necessario ricordarla): \(W = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{q}\Biggl(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\Biggr) (V_0 - V_{AK})}\)

Quando applichiamo $V_D > 0$ si dice che siamo in Polarizzazione Diretta, e predomina il termine esponenziale. Se invece applicassimo $V_D < 0$ si dice che siamo in Polarizzazione Inversa, il termine esponenziale tende a 0 e predomina il fattore $-1$, che quindi produce $I_D = -I_S$, ovvero una corrente di direzione inversa e molto piccola, coerente con la corrente di drift.

3.1. Effetto Breakdown

Per capire perché avviene il breakdown dobbiamo nominare due effetti che avvengono all’interno del diodo:

1. Effetto Zener
2. Effetto Valanga

L’effetto Zener si basa sul fenomeno del tunneling interbanda, ed è complesso da spiegare senza conoscere alcuni principi della meccanica quantistica. Semplificando, possiamo dire che il campo elettrico fornisce sufficiente energia da rompere alcuni legami covalenti.

L’effetto Valanga invece si basa su un assunto: all’interno della zona $P$ si liberano elettroni che, spinti dal campo elettrico, accelerano. Quando questi entrano nella zona di svuotamento lo fanno con una certa velocità $v \gg 1$. Nel momento in cui l’elettrone va a urtare un atomo all’interno della zona di svuotamento, quest’urto può rompere un legame covalente, producendo un elettrone libero e una lacuna.

I due elettroni a loro volta riacquisteranno velocità producendo una altro urto, che raddoppierà ancora una volta, e così via. A loro volta le lacune producono altri urti producendo altre lacune ed elettorni.

La rottura del legame per via dell’urto si chiama Ionizzazione per Urto.

3.1.1. Diodo Zener

3.1.2. Relazione Temperatura-Breakdown

Quando aumenta la temperatura $T$ sappiamo già che la mobilità diminuisce.

L’effetto Zener, all’aumento di $T$, diminuisce il modulo di $

V_{BR}

$, in quanto aumenta l’energia termica, richiedendo meno energia per rompere ogni legame covalente.

Seppur può sembrare che sull’effetto Valanga si abbia lo stessa conseguenza, in realtà la situazione è opposta. Infatti, aumentando l’energia termica di ogni elettrone, è vero che aumenta il numero di urti, ma ciò comporta una diminuzione del tempo tra uno e l’altro. L’effetto che ha sul singolo elettrone è quello di diminuire l’energia acquisita tra un urto e l’altro, non permettendogli di arrivare al livello necessario per la ionizzazione per utro.

L’effetto è quindi quello di aumentare il modulo di $

V_{BR}

$.

I diodi Zener sono costruiti in modo da gestire opportunamente gli effetti della temperatura. In generale:

• Prevale effetto Zener   $

  V_{BR}

  < 5\;V$

• Prevale effetto Valanga   $

  V_{BR}

  > 7\;V$

• Si hanno entrambi gli effetti   $5\;V <

  V_{BR}

  < 7\;V$

Nel caso di diodi che presentano entrambi gli effetti, soprattutto quelli da $5.6$ $V$ si dice che questi sono termicamente stabili, in quanto i due effetti tendono a compensarsi a vicenda.

4. Diodo nei Circuiti

Partiamo dal seguente circuito:

Poiché il diodo non è un componente lineare non possiamo risolverlo come facevamo ad Elettrotecnica.

Effettuiamo quindi uno studio utilizzando le Leggi di Kirchoff:

1. Equazione della Maglia:   $V_A = RI_D + V_D$
2. Legge di Shockley:   $I_D = I_S\cdot(e^{V_D \over \eta V_T} - 1)$

Risolvere questo sistema è complesso, tuttavia possiamo utilizzare metodi di risoluzione numerici sfruttando potenza computazionale.

Un altro metodo per avere almeno un idea di quello che accade si dice metodo grafico. È un metodo molto utile se riusciamo a portare in forma grafica la legge di Shockley, che appiemo essere un esponenziale.

Dalla prima equazione ricaviamo invece che $I_D = \frac{V_A - V_D}{R} = -\frac{V_D}{R} + \frac{V_A}{R}$, ovvero una retta con pendenza $-\frac{1}{R}$.

Un grafico qualitativo è quindi il seguente:

Otteniamo quindi che la soluzione del nostro esercizio è proprio l’intersezione tra le due curve, che viene spesso indicato con la lettera $Q$ (Quiescent), chiamato Punto di Lavoro o Punto di Riposo. \(Q = (V_{DQ}, I_{DQ})\)

Il metodo grafico, chiamato anche metodo della retta di carico, ci fornisce anche informazioni su cosa accade al variare dei parametri:

• Al variare di $R$ otteniamo un fascio di rette centrato in $(V_A, 0)$.
• Al variare di $V_A$ otteniamo un fascio di rette parallele

Il metodo grafico però presenta anche numerosi svantaggi:

1. La legge di Shockley varia per ogni componente, anche per quelli nominalmente identici
2. All’aumentare del numero dei diodi il metodo diventa incredibilmente complesso e inutile

Il vantaggio di entrambi i metodi è quello di non utilizzare alcuna approssimazione nei calcoli.

Ci concentriamo adesso invece su un metodo che sfrutta modelli equivalenti del diodo, che modellizza la legge di Shockley, approssimando una soluzione.

4.1. Modelli del Diodo per Grandi Segnali

Esistono tre modelli principali per approssimare il diodo:

1. Modello a Caduta Costante
2. Modello a Diodo Ideale
3. Modello Lineare a Tratti

4.1.1. Modello a Caduta Costante

4.1.2. Modello a Diodo Ideale

4.1.3. Modello lineare a Tratti

4.1.4. Soluzione circuito

4.2. Metodi di Analisi dei Circuiti

L’analisi dei circuiti a diodi si svoge partendo da un’ipotesi dello stato di lavoro del diodo:

• Conduzione
• Interdetto

Fatta l’ipotesi, il secondo passaggio consiste nell’applicazione del modello prescelto in accordo con l’ipotesi effettuata.

Nel caso di ipotesi di conduzione dobbiamo scelgiere tra:

• Diodo Ideale $\to$ Corto
• Diodo a Caduta Costante $\to$ Generatore Di Tensione Costante
• Diodo Lineare a Tratti $\to$ Generatore Di Tensione Reale

Se invece siamo nell’ipotesi interdetta dobbiamo sostituire ad ogni diodo un aperto.

Effettuata la sostituzione possiamo quindi risolvere il circuito, ovvero trovare tutte le correnti $I_i$ e le tensioni $V_i$.

Risolto il circuito dobbiamo effettuare la verifica:

• Conduzione: è necessario verificare che $I_D > 0$
• Interdetto: è necessario verificare che $V_{Ak} = V_D < V_\gamma$

4.3. Modelli del Diodo per Piccoli Segnali

Questa accortezza ci fornisce diversi vantaggi:

1. Ci permette di evitare la risoluzione delle equazioni trascendentali, trattando il diodo come una resistenza $r_d = \frac{v_d}{i_d} = \frac{1}{g_d}$
2. Possiamo separare nettamente l’analisi continua (che fissa il punto $Q$) dall’analisi in alternata che elabora il segnale

La “resistenza per piccoli segnali” è quindi un valore che dipende dal punto di riposo $Q$.

La linearizzazione, vedremo valida solamente se $|v_d(t)|\ll V_{DQ}$: \(\begin{align*} i_d(t) &= f(V_{DQ}+v_d(t)) \\ &= f(V_{DQ}) + \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D} \cdot v_d(t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f(V_{DQ})}{\partial v_D^2}\cdot v_d^2(t) + \dotsc \\ &\approx f(V_{DQ}) + \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D} \cdot v_d(t) \end{align*}\)

Possiamo quindi dire: \(\begin{CD} \begin{matrix} i_D(t) \approx f(V_{DQ}) + \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D}\cdot v_d(t) & \leftrightarrow & i_D(t) = I_{DQ}+ i_d(t) \end{matrix} \\ @VVV \\ \begin{matrix} I_{DQ} = f(V_{DQ}) & & i_d(t) = \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D} \cdot v_d(t) \end{matrix} \end{CD}\)

In paricolare chiamiamo: \(\begin{cases} g_d := \frac{i_d}{v_d} = \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D} & \textbf{Conduttanza differenziale} \\[1em] r_d := \frac{1}{g_d} = \Bigl(\frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D}\Bigr)^{-1} & \textbf{Resistenza differenziale} \\ \end{cases}\)

È quindi possibile vedere che i parametri differenziali dipendono dal punto di riposo $V_{DQ}$.

Possiamo quindi linearizzare la legge di Shockley: \(\begin{CD} {i_D = f(v_D) = I_S\Bigl(e^{v_D/(\eta U_T)} - 1\Bigr)} \\ @VVV \\ { g_d = \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D} = \frac{I_S}{\eta U_T}\cdot e^{V_D/(\eta U_T)} } \end{CD}\)

Sommando e sottraendo $I_S$ dal numeratore otteniamo: $$ \begin{align*} g_d &= \frac{I_S\Bigl(e^{V_D/(\eta U_T)} - 1\Bigr) + I_S}{\eta U_T}
&= \frac{f(V_D) + I_S}{\eta U_T}
&= \frac{I_{DQ} + I_S}{\eta U_T}
&\approx \frac{I_{DQ}}{\eta U_T} & I_{DQ} \gg I_S

\end{align*} $$

Questa linearizzazione è valida a patto che sia valida la relazione: \(\begin{CD} {\Biggl| \frac{\partial f(V_{DQ})}{\partial v_D} \cdot v_D(t) \Biggr| \gg \Biggl| \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f(V_{DQ})}{\partial v_D^2} \cdot v_D^2(t) \Biggr|} \\ @VVV \\ {\frac{I_{DQ} + I_S}{\eta U_T} \gg \frac{I_{DQ} + I_S}{2(\eta U_T)^2} \cdot |v_d(t)|} \\ @VVV \\ {|v_d(t)| \ll 2\eta U_T} \end{CD}\)

Per $U_T = \frac{K_BT}{q} \approx 26$ $mV$ a $300°K$ e $\eta = 1.1$ ottenuamo quindi che la relazione è valida solamente per oscillazioni di ampiezza molto inferiore a: \(|v_d(t)| \ll 57.2\;mV\)

In generale, per segnali con ampiezze di pochi milli-volt la nostra linearizzazione è valida, ottenendo valori: \(\begin{cases} \textbf{In conduzione } (I_{DQ} = 1\;mA) & r_d = \frac{\eta U_T}{I_{DQ}} = 28.6\;k\Omega \\[1em] \textbf{In interdizione con } V_{DQ} = 0 \:(I_{DQ} = 1\;nA) & r_d = \frac{\eta U_T}{I_{DQ}} = 28.6\;G\Omega \\ \end{cases}\)

4.3.1. Esempio Applicativo

Per quanto riguarda il primo punto possiamo quindi risolvere ipotizzando il diodo in conduzione: \(I_{DQ} = \frac{E - V_\gamma}{R} \\[0.75em] r_d = \frac{\eta U_T}{I_{DQ}} \\[0.75em]\)

Risolvendo invece il secondo circuito, utilizzando il diodo linearizzato: \(i_d(t) = \frac{v_s(t)}{R + r_d} \\[0.75em]\)

La soluzione finale sarà quindi: \(i_D(t) = I_{DQ} + i_d(t)\)